Every route across a five by five grid is ten steps long with exactly five going east, so counting routes is choosing which five of the ten slots are east. The reflex 1024 is the exact number of free ten-step walks, and only 252 of them arrive. Forbid the route to rise above the diagonal and the count collapses to the Catalan number 42.
Four over fifty-two squared is exactly right for the question where the first card goes back, which is what makes it hard to catch. Removing a king shrinks the numerator proportionally more than the denominator, and the counting route through 1326 two-card hands confirms one in 221 without mentioning order at all.
La réponse réflexe tourne autour de 180, la moitié du calendrier. Le vrai seuil est 23, parce qu'une coïncidence demande une paire et que 23 personnes en portent 253. Le même raisonnement met la question « quelqu'un partage-t-il MON anniversaire » à 253 personnes, onze fois plus de monde, et le seuil en racine carrée derrière les deux explique qu'un identifiant aléatoire de 64 bits se répète après cinq milliards de tirages et non dix-huit trillions.