x + 1/x = 3, et l'échelle jusqu'à x⁵ + 1/x⁵

Donnez-moi un seul fait, que $x + \tfrac{1}{x} = 3$, et je vous rends $x^5 + \tfrac{1}{x^5}$ sans jamais chercher $x$. Ça ressemble encore un peu à de la triche la première fois. Les deux valeurs de $x$ qui vérifient la condition sont laides, toutes deux bourrées de $\sqrt{5}$, et pourtant la quantité qu’on veut vraiment tombe sur un entier net : $123$. Pas de décimales, pas de radical qui traîne. C’est le moteur de tout un genre de problèmes de concours, et il tient en une règle de deux lignes qu’on fait sur ses doigts.

Transformer la condition en deux racines

Multipliez $x + \tfrac{1}{x} = 3$ par $x$ et vous obtenez une simple équation du second degré :

Voici le geste qui rend tout le reste facile. Si $x$ est solution, alors $\tfrac{1}{x}$l’est aussi, car le produit des deux racines vaut $1$ (le terme constant sur le coefficient dominant). Donc $x$ et $\tfrac{1}{x}$ sont les deux racines de la même équation, et les relations de Viète nous disent tout ce dont on aura besoin :

Somme $3$, produit $1$. On ne résoudra jamais en $x$. On va tout construire à partir de ces deux nombres.

Nommez ce que vous voulez, puis trouvez sa règle

Donnez un nom à la quantité. Posons

de sorte que la cible est $p_5$. Deux étages sont gratuits : $p_0 = x^0 + x^0 = 2$ et $p_1 = 3$, qui est la condition elle-même. Regardez maintenant ce qui arrive quand on multiplie la somme donnée par l’une de ces expressions :

Les termes croisés se simplifient : $x^{n-1}\cdot \tfrac{1}{x} = x^{n-2}$ et $\tfrac{1}{x^{n-1}}\cdot x = \tfrac{1}{x^{n-2}}$. Le membre de gauche vaut exactement $3\,p_{n-1}$, si bien qu’en réarrangeant on obtient toute l’astuce en une ligne :

Lisez l’équation (2) lentement, car c’est la raison pour laquelle les radicaux disparaissent. Chaque terme vaut trois fois le précédent moins l’avant-précédent, et ce n’est que de l’arithmétique entière. Partez de deux entiers, $2$ et $3$, et vous ne pourrez jamais quitter les entiers. Le $\sqrt{5}$ caché dans $x$s’annule discrètement avec le $\sqrt{5}$ caché dans $\tfrac{1}{x}$ à chaque étape.

Grimper au cinquième étage

La règle en main, il ne reste aucune finesse, seulement de la comptabilité. Chaque ligne utilise les deux au-dessus d’elle :

La même échelle répond pour n’importe quel exposant. Vous voulez $x^{10} + \tfrac{1}{x^{10}}$ ? Continuez de grimper : $p_6 = 322$, et ainsi de suite. Une seule règle, autant d’étages que vous voulez.

Les identités de Newton en miniature

L’équation (2) n’est pas une coïncidence propre à ce casse-tête. Les nombres $p_n$ sont les sommes de puissances des deux racines $x, \tfrac{1}{x}$, et leurs fonctions symétriques élémentaires sont exactement la somme et le produit de Viète : $e_1 = x + \tfrac{1}{x} = 3$ et $e_2 = x\cdot\tfrac{1}{x} = 1$. Les identités de Newton disent que, pour deux variables,

ce qui, pour $e_1 = 3,\ e_2 = 1$, est exactement notre équation (2). Changez la condition en $x + \tfrac{1}{x} = s$ et la récurrence remplace simplement le $3$ par $s$ : $p_n = s\,p_{n-1} - p_{n-2}$. Cette seule formule règle tranquillement tous les problèmes « trouver $x^k + 1/x^k$» qu’on vous posera jamais.

Le nombre caché sous 123

On a refusé de résoudre en $x$, mais jetons un œil maintenant. L’équation (1) donne

La plus grande racine vaut $\tfrac{3+\sqrt5}{2} \approx 2.618$, et c’est un visage familier déguisé. En écrivant le nombre d’or sous la forme $\varphi = \tfrac{1+\sqrt5}{2}$, un calcul d’une ligne utilisant $\varphi^2 = \varphi + 1$ donne $\varphi^2 + \varphi^{-2} = 3$. Donc notre $x$ est simplement $\varphi^2$, et

où les $L_m$ sont les nombres de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, \dots$ Prenez un sur deux et vous retrouvez exactement notre montée :

Cette suite $2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, \dots$ est cataloguée sous OEIS A005248, les nombres de Lucas d’indice pair, et elle mentionne la récurrence même qu’on a dérivée, $a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2}$. La réponse au casse-tête est donc $L_{10} = 123$. L’échelle qui esquivait chaque racine carrée comptait en réalité des puissances du nombre d’or depuis le début. Je trouve ça un peu saisissant : un exercice d’algèbre jeté en passant et l’une des constantes les plus commentées des mathématiques se révèlent être le même objet, vu sous deux angles.